Question

如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别是AE，AB的中点．

(1)求证：PQ∥平面ACD；

(2)求AD与平面ABE所成的角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点， 　　所以PQ∥EB，且PQ＝EB． 　　又EB∥DC，所以PQ∥DC． 　　因为PQ平面ACD，DC平面ACD， 　　所以PQ∥平面ACD． 　　(2)解：连接DP，CQ．在△ABC中，AC＝BC＝2，AQ＝BQ，所以CQ⊥AB． 　　因为DC⊥平面ABC，EB∥DC， 　　所以EB⊥平面ABC，所以EB⊥CQ． 　　因为AB∩EB＝B，所以CQ⊥平面ABE． 　　由(1)知PQ∥DC，且PQ＝EB＝DC，则四边形DCQP是平行四边形，所以DP∥CQ． 　　所以DP⊥平面ABE，则AD在平面ABE内的射影是AP，所以AD与平面ABE所成的角是∠DAP． 　　由AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，得∠CAQ＝30°， 　　则DP＝CQ＝2sin∠CAQ＝1． 　　又AD＝＝＝， 　　所以sin∠DAP＝＝＝， 　　即AD与平面ABE所成的角的正弦值为． 　　点评：用定义求直线与平面所成的角时，应注意：(1)先判断直线与平面的位置关系．(2)当直线是平面的斜线时，常用以下步骤：①作出或找到斜线与其射影所成的角；②论证所作或找到的角为所求的角；③用解三角形的方法求角；④点明斜线与平面所成的角．找两条异面直线所成的角，可通过平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．二面角主要用定义法求解．