Question

点P(x，y)是区域|x|＋|y|≤1内的动点，求ax＋y的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

把－x代入方程|x|＋|y|＝1后方程的表达式不变，因此可以确定其图形必关于y轴对称，同理可知其图形关于x轴对称，从而也关于原点对称．因而只需画出第一象限的图形x＋y＝1即可得到|x|＋|y|＝1的整个图形，而|x|＋|y|≤1就是其所围成的区域(含边界，如图)．设t＝ax＋y，则直线y＝－ax＋t是一组斜率为－a的平行直线，考虑到该区域的边界是由斜率等于±1的四条线段组成． 　　(1)当－1≤－a≤1时，若直线过A(0，1)，则纵截距t最大，tmax＝1；若直线过C(0，－1)，则纵截距t最小，．tmin＝－1． 　　(2)当－a＞1即a＜－1时，若直线过D(－1，0)，则纵截距t最大，tmax＝1－a；若直线过B(1，0)，则纵截距t最小，tmin＝1＋a． 　　(3)当－a＜－1即a＞1时，直线过B(1，0)时纵截距t最大，tmax＝1＋a；直线过D(－1，0)时纵截距t最小，tmin＝1－a．

提示：

首先画出x|＋|y|≤1表示的平面区域，然后对a进行讨论．