Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N*）．
（1）证明：数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是等比数列．
（2）设b_n=

1

an2

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设条件能够导出

1

an

+（-1）ⁿ=（-2）[

1

an-1

+（-1）^n-1]，由此可知数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以

1

a1

+（-1）=3为首项，公比为-2的等比数列．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．由此可求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：解：（Ⅰ）

1

an

=（-1）ⁿ-

2

an-1

，∴

1

an

+（-1）ⁿ=（-2）[

1

an-1

+（-1）^n-1]
∴数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以

1

a1

+（-1）=3为首项，公比为-2的等比数列．
∴

1

an

+（-1）ⁿ=3（-2）^n-1，即a_n=

(-1)n-1

3×2n-1+1

．
（Ⅱ）b_n=（3×2^n-1+1）²=9×4^n-1+6×2^n-1+1．
∴S_n=9×

1×(1-4n)

1-4

+6×

1×(1-2n)

1-2

+n=3×4ⁿ+6×2ⁿ+n-9．

点评：本题考查数列的递推公式和数列的求和，解题时要注意数列求和的方法总结和公式的合理运用．