Question

如图,在直四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,底面A₁B₁C₁D₁为梯形,且A₁B₁∥C₁D₁,A₁D₁=D₁D=D₁C₁=A₁B₁=1,AD₁⊥A₁C,E是棱A₁B₁的中点.

（1）求证：CD⊥AD；

（2）求点C₁到平面CD₁B₁的距离；

（3）求二面角D₁-CE-B₁的余弦值.

Answer 1

解：(1)证明：连结A₁D，∵四边形A₁D₁DA是正方形,

∴AD₁⊥DA₁.又∵AD₁⊥A₁C，∴AD₁⊥平面A₁CD.

∴AD₁⊥CD.又∵DD₁⊥CD，∴CD⊥平面AD₁D.∴CD⊥AD.

（2）以D₁为原点，D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系.

则D₁(0,0,0),C(0,1,1),E(1,1,0),B₁(1,2,0),

=(0,1,1),=(1,1,0),=(-1,0,1),=(0,1,0),=(1,2,0).

设平面CD₁B₁的一个法向量为n=(x,y,z),

∵n⊥,n⊥,

∴即.

令y=-1，则x=2,z=1,得n=(2,-1,1)

又∵=(0,1,0),∴点C₁到平面CD₁B₁的距离d=  =.

（3）设平面CD₁E的一个法向量为n₁=(x₁,y₁,z₁),

∵∴

令x₁=1，则y₁=-1,z₁=1,得n₁=(1,-1,1).

又设平面CB₁E的一个法向量n₂=(x₂,y₂,z₂),

∵n₂⊥,n₂⊥,

∴

则

令x₂=1,则y₂=0,z₂=1,得n₂=(1,0,1).

cosα=,

∴二面角D₁-CE-B₁的余弦值为.