Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2。

（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离。

Answer 1

解：（1）证明：连结OC ∵BO=DO，AB=AD， ∴AO⊥BD ∵BO=DO，BC=CD， ∴CO⊥BD 在△AOC中，由已知可得AO=1，CO= 而AC=2， ∴AO2+CO2=AC2， ∴∠AOC=90°，即AO⊥OC ∵ ∴AB⊥平面BCD。 （2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC ∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在△OME中， ∵是直角△AOC斜边AC上的中线 ∴ ∴ ∴异面直线AB与CD所成角的大小为。
（3）设点E到平面ACD的距离为h ∵= ∴·S△ACD=·AO·S△CDE 在△ACD中，CA=CD=2，AD= ∴S△ACD= 而AO=1，S△CDE= ∴h= ∴点E到平面ACD的距离为。