Question

如下图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N．

求证：AN⊥平面PBM．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵PA⊥平面ABM，BM平面ABM， 　　∴PA⊥BM． 　　又AB是圆O的直径，可得AM⊥BM， 　　∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM． 　　∴BM⊥AN． 　　∴AN与PM、BM两条相交直线垂直． 　　∴AN⊥平面PBM． 　　思路分析：本题考查线面垂直的定义，以及证明线面垂直的方法．要证线面垂直，需证直线和平面内的两条相交直线都垂直．已知AN⊥PM，只要再证AN和平面PBM内的另一条直线，如BM或PB垂直即可． 　　再结合已知中线面垂直，可找线线垂直． 　　温馨提示：判定一条直线和一个平面垂直有以下两种方法： 　　(1)利用定义，即证这条直线和平面内的任意一条直线垂直．由于要垂直平面内的任意一条直线，具有不确定性，这给我们的证明带来了不便，因此这个方法的操作性不很强． 　　(2)利用线面垂直的判定定理证明线面垂直可以转化为直线和直线垂直问题．另一方面，证明线线垂直，由于直线和平面垂直时，直线和这个平面内的所有直线都垂直，因此证明垂直问题的过程实质是线线垂直和线面垂直的相互转化的过程．