Question

（2012•江西模拟）函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图所示，则f（1）+f（-1）的值一定（　　）

A．等于0

B．大于0

C．小于0

D．小于或等于0

Answer 1

分析：根据函数单调性与导数的关系，由函数图象可得三方面信息，①函数f（x）的一个零点为0，即f（0）=0，②函数的极值点有两个，即方程f′（x）=0有两个根记作x₀（＜-2），2，且两根之和小于零，③函数f（x）在（x₀，2）上为减函数，即不等式f′（x）＜0的解集为（x₀，2），分别将这三方面信息反映到系数abc上，即可判断f（1）+f（-1）=（a+b+c）+（-a+b-c）=2b的符号

解答：解：由函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象可以看出，①：f（0）=0，∴d=0
②：函数的极值点有两个，即方程f′（x）=3ax²+2bx+c=0有两个根记作x₀（＜-2），2，一正一负
且两根之和，两根之积均小于零，所以

c

3a

＜0，且-

2b

6a

＜0，∴ac＜0，ab＞0
③函数f（x）在（x₀，2）上为减函数，
∴不等式f′（x）=3ax²+2bx+c＜0的解集为（x₀，2），根据一元二次不等式的解法应有a＞0
从而b＞0
∵f（1）+f（-1）=（a+b+c）+（-a+b-c）=2b
∴f（1）+f（-1）的值一定大于0
故选B

点评：本题考察了函数、方程、不等式的思想，利用了导数在函数极值与单调性中的应用，考查利用图象分析函数性质的能力．