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    如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A＝60°，∠C＝90°，CD＝2．把△ABD沿BD折起(如图二)，使二面角A－BD－C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

    (1)求A，C两点间的距离；

    (2)证明：AC⊥平面BCD；

    (3)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

    答案：
    解析：

    　　解：(Ⅰ)取的中点，连接，

    　　由，得：

    　　就是二面角的平面角，　2分

    　　在△ACE中，

    　　

    　　，

    　　　4分

    　　(Ⅱ)由，

    　　

    　　　6分

    　　，

    　　又，平面．　8分

    　　(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知平面，平面

    　　∴平面平面　10分，

    　　平面平面，

    　　作交于，则平面，

    　　就是与平面所成的角，　12分

    　　．　14分

    　　方法二：设点到平面的距离为，

    　　∵　10分

    　　

    　　　12分

    　　于是与平面所成角的正弦为：．　14分

    　　方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则

    　　．　10分

    　　设平面的法向量为n，则：n，n，

    　　取，则n，　12分，

    　　于是与平面所成角的正弦即

    　　．　14分


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    ．对于图二，完成以下各小题：
    （Ⅰ）求A，C两点间的距离；
    （Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
    （Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年浙江省六校高三4月月考考试数学理卷 题型：解答题

    （本题满分14分）

    如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，，。

    把沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于。对于图二，

    （1）求的长，并证明：平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值。

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年浙江省六校高三4月月考考试数学理卷 题型：解答题

    （本题满分14分）

    如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，，。

    把沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于。对于图二，

    （1）求的长，并证明：平面；

    （2）求直线与平面所成角的正弦值。

     

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    科目：高中数学 来源：2011年辽宁省名校领航高考数学预测试卷（六）（解析版） 题型：解答题

    如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
    （Ⅰ）求A，C两点间的距离；
    （Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
    （Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

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    科目：高中数学 来源：2009年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    如图一，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如图二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
    （Ⅰ）求A，C两点间的距离；
    （Ⅱ）证明：AC⊥平面BCD；
    （Ⅲ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．

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