Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对于任意的正整数n都有a_n-a_n+1≠1，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，则S₂₀₁₂=

4023

．

Answer 1

分析：分别表示出a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减可推断出a_n+3=a_n，进而可知数列{a_n}是以3为周期的数列，只要看2006是3的多少倍，然后通过a₁=1，a₂=2，求得a₃，而2012是3的670倍余2，由此能求出S₂₀₁₂．

解答：解：依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，
a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，
两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₁₂=670×（1+2+3）+1+2=4023
故答案为：4023．

点评：本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．