Question

已知椭圆=1上一点P,到其左、右焦点距离之比为1∶3,求点P到准线的距离及点P的坐标.

Answer 1

思路分析:已知椭圆方程,则该椭圆的一切几何性质可知,从而焦点坐标、准线方程可求.由于本题欲求的P点既与焦点距离有关,又与准线距离有关,所以解题时可以用以上两种定义.

解法一:设P(x,y),左、右焦点分别为F₁、F₂,由已知的椭圆方程可得a=10,b=6,c=8,e==,则|PF₁|+|PF₂|=2a=20.

又3|PF₁|=|PF₂|,∴|PF₁|=5,|PF₂|=15.

设点P到两准线的距离分别是d₁、d₂,则由第二定义知,,得d₁=,d₂=.

而=d₁+|x|,

即=+|x|,则|x|=.

∴x=-.代入椭圆方程得y=±.故点P的坐标为(-,)或(-,?-).

解法二:设|PF₁|=k,则|PF₂|=3k,

由椭圆定义,得k+3k=2a=20.

∴k=5,3k=15.

设P(x₀,y₀).

由椭圆第二定义=e,

∴|PF₁|=e·d₁=e(+x₀)=a+ex₀.

∴5=10+x₀.

∴x₀=-.代入椭圆方程,得y₀=±.∴P(-,±).

点P到左、右准线距离分别为、.