Question

（2011•武昌区模拟）已知各项均为正实数的数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3对于一切n∈N^*成立．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=

2an-1

，Tn为数列{

an

bn

}的前n项和，求证T_n＜5．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把n=1代入4S_n=a_n²+2a_n-3再结合各项均为正实数即可求出a₁；
（Ⅱ）直接根据4S_n=an2+2a_n-3以及4s_n-1=an-12+2a_n-1-3；作差整理求出a_n-a_n-1=2，得到数列的规律，即可求出结论；
（Ⅲ）先求出数列{

an

bn

}的通项公式，在利用错位相减法求和，进而证明结论．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，4S₁=4a₁=a1 2+2a₁-3，，得a12-4a₁-3=0，
a₁=3或a₁=-1，由条件a_n＞0，所以a₁=3．      …（2分）
（Ⅱ）当n≥2时，4S_n=an2+2a_n-3，4s_n-1=an-12+2a_n-1-3；
则4S_n-4S_n-1=an2+2a_n-3-an-12-2a_n-1+3，
所以4a_n=an2+2a_n-an-12-2a_n-1，an2-2a_n-an-12-2a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，…（4分）
由条件a_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2，…（5分）
故正数列{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以a_n=2n+1．   …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）b_n=

2an-1

=

22n+1-1

=2ⁿ，

an

bn

=

2n+1

2n

，…（8分）
∴T_n=

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

+

2n+1

2n

，①…（9分）
将上式两边同乘以

1

2

，得

1

2

T_n=

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

+

2n+1

2n+1

        ②…（10分）
①-②，得

1

2

T_n=

3

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n+1

2n+1

=

5

2

-

2n+5

2n+1

，
即T_n=5-

2n+5

2n

．…（12分）
∵n∈N^*，∴

2n+5

2n

＞0
∴T_n＜5．…（13分）

点评：本题主要考察数列与不等式的综合问题．其中涉及到数列的错位相减法求和，数列的错位相减法求和适用于一等差数列乘一等比数列组成的新数列．