Question

（2013•青岛一模）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

2π

3

]上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足

sinB+sinC

sinA

=

4ω 3 -cosB-cosC

cosA

．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知

2π

ω

=

4π

3

，解之可得ω，代入已知条件化简可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（Ⅱ）由条件和（Ⅰ）的结论可得△ABC为等边三角形，可得SOACB=S△OAB+S△ABC=

1

2

OA•OBsinθ+

3

4

AB2，可化简为2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

，由θ的范围可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：

2π

ω

=

4π

3

，解得ω=

3

2

…（2分）
∵

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分）
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）因为b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC为等边三角形，
∴SOACB=S△OAB+S△ABC=

1

2

OA•OBsinθ+

3

4

AB2…（8分）
=sinθ+

3

4

(OA2+OB2-2OA•OBcosθ)…（9分）
=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin(θ-

π

3

)+

5 3

4

，…（10分）
∵θ∈（0，π），∴θ-

π

3

∈(-

π

3

，

2π

3

)，
当且仅当θ-

π

3

=

π

2

，即θ=

5π

6

时取最大值，S_OACB的最大值为2+

5 3

4

…（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积，属中档题．