Question

已知数列{a_n}中，前n项和S_n满足：
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若，S_n′为数列{b_n}的前n项和，求证：S_n′＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，得S_n-S_n-1=，可化为（n≥2），根据等差数列的定义可证明；
（2）由（1）可得，进而得到S_n，根据可求得a_n；
（3）表示出b_n（n≥2），则S′_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，对各项分母进行适当放缩，然后利用裂项相消法化简，可得结论；
解答：解：（1）∵，
∴S_n-S_n-1=，即，
所以S_n-1-S_n=2S_nS_n-1，
显然，S_n≠0，否则由知a_n=0与a_n≠0矛盾．
∴（n≥2），
又，
∴是首项为2，公差为2的等差数列；
（2）由（1）可知：，∴，
①当n≥2时，，
②当n=1时，，
∴；
（3）∵b₁=1，且由（2）知当n≥2时，，
∴S′_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=1+
＜1+
=1+（1-）+（）+…+（）=2-＜2．
点评：本题考查数列与不等式的综合、等差数列的判定及数列求和，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，能力要求较高．