Question

设关于x的实系数一元二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0有两根α_n,β_n，且满足(α_n-1)·(β_n-1)+2nα_nβ_n=0，n=1，2，3，…，a₁=1.

(Ⅰ)试用a_n表示a_n+1；

(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式；

(Ⅲ)设T_n=，求证：1≤T_n＜2(n∈N^*).

Answer 1

解：(Ⅰ)因为关于x的二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0有两根α_n,β_n,

所以  

又即1-

∴1-+(2n+1)·=0,所以a_n+1=a_n+2n+1  

(Ⅱ)由a_n+1=a_n+2n+1得a_n+1-a_n=2n+1  则a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+…+(a₃-a₂)+(a₂-a₁)+a₁

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+ (2×2+1)+(2×1+1)+1=2·+(n-1)+1

所以,数列{a_n}的通项公式为a_n=n² 

(Ⅲ)由(Ⅱ)知a_n=n²,所以

T_n=  (n

当n=1时,T₁==1,显然有T₁＜2.

当n≥2时,因为   即

所以T_n

综上可知  1≤T_n＜2(n∈N*).