Question

已知函数f（x）=x²-ax+2lnx（其中a是实数）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若2(

e

+

1

e

)＜a＜5，且f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求|f（x₁）-f（x₂）|的取值范围．（其中e是自然对数的底数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）求f（x）的导数f′（x），利用f'（x）判定f（x）的单调性，从而求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）在（x₁，x₂）内递减，得f（x₁）＞f（x₂），求出|f（x₁）-f（x₂）|的表达式，从而得取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-ax+2lnx（x＞0），∴f′（x）=2x-a+

2

x

=（2x+

2

x

）-a≥4-a；
∴①当4-a≥0，即a≤4时，f'（x）≥0，f（x）是增函数，增区间为（0，+∞）；
②当a＞4时，f′(x)=

2x2-ax+2

x

，
∵△=a2-16＞0，x1+x2=

a

2

＞0，x1x2=1＞0，∴0＜x₁＜x₂；
∴f（x）的增区间为(0，

a- a2-16

4

)，(

a+ a2-16

4

，+∞)，减区间为(

a- a2-16

4

，

a+ a2-16

4

)；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）在（x₁，x₂）内递减，∴f（x₁）＞f（x₂）；
∵x2=

1

x1

＞x1，∴0＜x₁＜1；
∵2(

e

+

1

e

)＜a=2(x1+x2)=2(x1+

1

x1

)＜5=2(2+

1

2

)，
而y=2(x1+

1

x1

)在（0，1）上递减，
∴

1

2

＜x1＜

1

e

；
∴|f(x1)-f(x2)|=-

a

2

(x1-x2)+2ln

x1

x2

=

1

x 2 1

-

x

2 1

+4lnx1；
令g(x1)=

1

x 2 1

-

x

2 1

+4lnx1(

1

2

＜x1＜

1

e

)，
∴g′(x1)=-

2( x 2 1 -1)2

x 3 1

＜0，∴g（x₁）在(

1

2

，

1

e

)上递减；
∴|f(x1)-f(x2)|∈(e-

1

e

-2，

15

4

-4ln2)．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性以及根据函数的单调性求函数极值的问题，是易错题．