Question

已知数列{a_n}是等差数列，它的前n项和为S_n，且a₃=5,S₆=36.

(1)求a_n;

(2)已知等比数列{b_n}满足b₁+b₂=1+a,b₄+b₅=a³+a⁴(a≠-1),设数列{a_n·b_n}的前n项和为T_n，求T_n.

Answer 1

解析：(1)因为数列{a_n}是等差数列,

∴

故a_n=2n-1.

(2)设等比数列{b_n}的公比为q,

∵q³==a³,∴q=a.

由b₁+b₂=1+a，得b₁(1+a)=1+a.

∵a≠-1,∴b₁=1.

则b_n=b₁q^n-1=a^n-1，

a_nb_n=(2n-1)a^n-1.

T_n=1+3a+5a²+7a³+…+(2n-1)a^n-1，                                                 ①

当a≠1时，aT_n=a+3a²+5a³+7a⁴+…+(2n-1)aⁿ.                                  ②

由①-②得

(1-a)T_n=1+2a+2a²+2a³+…+2a^n-1-(2n-1)aⁿ=-1-(2n-1)aⁿ,

T_n=，

当a=1时，T_n=n².