Question

已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在函数f(x)＝ax³＋bx(a＞0)图象上．

(1)若正方形的一个顶点为(2，1)，求a，b的值，并求出此时函数的单调增区间；

(2)若正方形ABCD唯一确定，试求出b的值．

【题类】其他

Answer 1

答案：
解析：

(1)因为，所以，因此， 　　所以函数的图象在点处的切线方程为　　2分 　　由得，由，得　　4分 　　(2)因为， 　　所以，由题意知在上有解， 　　因为，设，因为， 　　则只要解得， 　　所以b的取值范围　　8分 　　(3)不妨设．因为函数在区间上是增函数，所以， 　　函数图象的对称轴为，且， 　　(ⅰ)当时，函数在区间上是减函数，所以， 　　所以等价于， 　　即， 　　等价于在区间上是增函数， 　　等价于在区间上恒成立， 　　等价于在区间上恒成立， 　　 　　③当时， 　　由图象的对称性知，只要对于①②同时成立，那么对于③， 　　则存在， 　　使恒成立； 　　或存在， 　　使恒成立． 　　因此，． 　　综上，b的取值范围是　　16分