Question

22.设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程.

Answer 1

（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中.由于点在椭圆上，有，即.

解得，从而得到.

直线的方程为，整理得.

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即.

证法二：同证法一，得到点的坐标为.

过点作，垂足为，易知，故.

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即.

（Ⅱ）解法一：设点的坐标为.

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，.

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，.

由①式得

.

由知.将③式和④式代入得，

.

将代入上式，整理得.

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，.

由知，即，

解得.

这时，点的坐标仍满足.

综上，点的轨迹方程为　.

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为.

记（显然），点的坐标满足方程组

由①式得.　　　　　　 ③

由②式得.　　　④

将③式代入④式得.

整理得，

于是.　　　      ⑤

由①式得.　　　       ⑥

由②式得.　　   ⑦

将⑥式代入⑦式得，

整理得，

于是.　　　        ⑧

由知.将⑤式和⑧式代入得，

.

将代入上式，得.

所以，点的轨迹方程为.