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    设函数f(x)有性质:①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);③＜0;④f()＜.

    则在下面所给四个函数中,能同时满足以上三个性质的函数是

    A.f(x)=πx                       B.f(x)=-2x                        C.f(x)=lnx           D.f(x)=-lgx

    D

    解:∵f(x)=-lgx,

    ∴f(x1·x2)=-lg(x1·x2)=-(lgx1+lgx2)=-lgx1-lgx2=f(x1)+f(x2).

    ∴满足②.

    又∵=＜0=,

    当x1＞x2＞0时,x1-x2＞0,＜1,∴lg＜0.∴＜0,

    当0＜x1＜x2时,x1-x2＜0,＞1,∴lg＞0.∴＜0.

    ∴满足③.

    又∵x1+x2＞(x1≠x2,∴不取等号),

    ∴＜.

    ∴lg＜lg.

    ∴-lg＜.

    ∴f()＜.

    ∴满足④.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．
    （1）函数f(x)=
    1
    x
    是否属于集合M？说明理由；
    （2）设函数f(x)=lg
    a
    x2+1
    ∈M    ，求a的取值范围；
    （3）设函数y=2x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2x+x2∈M．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•天河区三模）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f'（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f'（x）=h（x）（x2-ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a）．
    （1）设函数f(x)=Inx+
    b+2x+1
    (x＞1)    ，其中b为实数．
    （i）求证：函数f（x）具有性质P（b）；
    （ii）求函数f（x）的单调区间．
    （2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，a=mx1+（1-m）x2，β=（1-m）x1+mx2，且a＞1，β＞1，若|g（a）-g（β）|＜|g（x1）-g（x2）|，求m取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合M是满足下面性质的函数f（x）的全体：在定义域内，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有实数解．
    （1）函数f(x)=
    1
    x
    是否属于集合M？说明理由；
    （2）设函数f(x)=lg
    t
    x2+1
    ∈M    ，求t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

    （1）函数f(x)= x 是否属于集合M？说明理由；

    （2）设函数f(x)=ax（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明： f(x)=ax∈M；

    （3）若函数f(x)=sinkx∈M ,求实数k的取值范围.

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