Question

已知函数f(x＋1)＝x²－1，x∈[－1，3]，求f(x)的表达式．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：函数是一类特殊的对应，已知函数f(x＋1)＝x2－1，即知道了x＋1的象是x2－1，求出x的象，即是f(x)的表达式．求解f(x)的表达式本题可用“配凑法”或“换元法”． 　　解法一：(配凑法)∵f(x＋1)＝x2－1＝(x＋1)2－2(x＋1)， 　　∴f(x)＝x2－2x． 　　又x∈[－1，3]时，(x＋1)∈[0，4]， 　　∴f(x)＝x2－2x，x∈[0，4]． 　　解法二：(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，且由x∈[－1，3]知t∈[0，4]， 　　∴由f(x＋1)＝x2－1，得f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t，t∈[0，4]． 　　∴f(x)＝(x－1)2－1＝x2－2x，x∈[0，4]．

提示：

已知函数f[g(x)]的表达式，求f(x)的表达式，解决此类问题一般有两种思想方法，一种是用配凑的方法，一种是用换元的方法． 　　所谓“配凑法”即把已知的f[g(x)]配凑成关于g(x)的表达式，而后将g(x)全用x取代，化简得要求的f(x)的表达式； 　　所谓“换元法”即令已知的f[g(x)]中的g(x)＝t，由此解出x，即用t的表达式表示出x，后代入f[g(x)]，化简成最简式． 　　需要注意的是，无论是用“配凑法”还是用“换元法”，在求出f(x)的表达式后，都需要指出其定义域，而f(x)的定义域即x的取值范围应和已知条件f[g(x)]中g(x)的范围一致，所以说求f(x)的定义域就是求函数g(x)的值域．