Question

利用单调函数的定义证明：函数f（x）=x+

2

x

在区间（0，

2

）上是减函数．

Answer 1

分析：设 0＜x1＜x2＜

2

，化简f（x₁）-f（x₂） 为

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，判断它的符号大于零，再根据减函数的定义得出结论．

解答：证明：设 0＜x1＜x2＜

2

，（1分）
则 f（x₁）-f（x₂）=（x1+

1

x1

 ）-（x2+

1

x2

）=（x₁-x₂ ）+2（

1

x1

- 

1

x2

）   （4分）
=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

   （6分）
由

0＜x1＜x2＜ 2

  可得 0＜x₁x₂＜2，x₁-x₂＜0． 
∴

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
由单调函数的定义可知，函数函数f（x）=x+

2

x

在区间（0，

2

）上是减函数．（12分）

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，属于基础题．