Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦点F₁，倾斜角为30°的直线交双曲线右支于点P，若线段PF₁的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  5

• C．3
• D．

  3

Answer 1

分析：设F₁（-c，0），P（x₀，y₀），依题意可求得直线PF₁的方程为：y=

3

3

（x+c），△MF₁O为直角三角形，经分析知OM为直角三角形PF₁F₂的中位线，从而可求得|PF₁|与|PF₂|，利用双曲线定义及离心率公式即可求得答案．

解答：解：设F₁（-c，0），P（x₀，y₀），
依题意，直线PF₁的方程为：y=

3

3

（x+c），设直线PF₁与y轴的交点为M（0，m），
∵M为线段PF₁的中点，
∴

x0-c

2

=0，m=

y0

2

．
∴x₀=c，
∴y₀=

3

3

（x₀+c）=

2 3

3

c，m=

3

3

c．
∵△MF₁O为直角三角形，∠PF₁O=30°，
∴|MF₁|=2|OM|=2m=

2 3

3

c；
又M为线段PF₁的中点，O为F₁F₂的中点，
∴OM为直角三角形PF₁F₂的中位线，
∴|PF₁|=

4 3

3

c，|PF₂|=

2 3

3

c，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=

2 3

3

c，
∴其离心率e=

c

a

=

3

．
故选D．

点评：本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义，求得|PF₁|与|PF₂|是关键，考查作图、分析、与运算能力，属于中档题．