Question

已知函数f（x）=2^x，f（a+2）=12，函数g（x）=2^ax-9^x，g（x）的定义域为[0，1]．
（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（a+2）=2^a+2=12可求a，然后代入到g（x）=2^ax-9^x，化简即可
（Ⅱ）令t=3^x，由x∈[0，1]，可求t∈[1，3]，然后结合二次函数的性质可求

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，f（a+2）=2^a+2=12
∴a=log₂3
∵g（x）=2^ax-9^x，
∴g（x）=3^x-9^x； 
（Ⅱ）令t=3^x，x∈[0，1]，则t∈[1，3]
∴g（t）=t-t²=-(t-

1

2

)2+

1

4

结合二次函数的性质可知，g（t）=t-t²=-(t-

1

2

)2+

1

4

在[1，3]上单调递减
当t=1时，g（1）=0，当t=3时，g（3）=-6
∴函数的值域为[-6，0]．

点评：本题主要考查了对数的基本运算的应用，指数函数的性质、二次函数性质的综合应用 在求解函数值 域中的应用．