Question

已知向量

m

=(

3

cos

x

4

，cos

x

4

)，

n

=(sin

x

4

，cos

x

4

)．
（Ⅰ）若

m

•

n

=

3 +1

2

，求cos(x+

π

3

)的值；
（Ⅱ）记f(x)=

m

•

n

-

1

2

，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(

2

a-c)cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换化简

m

•

n

 的解析式为sin(

x

2

+

π

6

)+

1

2

，利用诱导公式求出
cos(x+

π

3

)的值．
（Ⅱ）根据f(x)=

m

•

n

-

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)，再利用条件可得

2

sinAcosB=sinA，求出cosB=

2

2

，可得B的值，
可得A的范围，根据

A

2

+

π

6

的范围求得f（A）的范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

m

•

n

=

3 +1

2

=

3

cos

x

4

sin

x

4

+cos2

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

，
 即sin(

x

2

+

π

6

)=

3

2

，所以cos(x+

π

3

)=1-2sin2(

x

2

+

π

6

)=-

1

2

．------5分
（Ⅱ）∵f(x)=

m

•

n

-

1

2

=sin(

x

2

+

π

6

)，则f(A)=sin(

A

2

+

π

6

) (

2

a-c)cosB=bcosC，
则(

2

sinA-sinC)cosB=sinBcosC，即

2

sinAcosB=sinA，
∴cosB=

2

2

，则 B=

π

4

．
∵A∈(0，

3

4

π)，

A

2

+

π

6

∈(

π

6

，

13π

24

)，∴f(A)∈(

1

2

，1]．-------10分

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换，诱导公式的应用，属于中档题．