Question

设f（x）=x+

b

x+1

，x∈[0，+∞)．
（1）求当b=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当0＜b＜1时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）把b=2代入已，可得f（x）的解析式，由基本不等式可得；（2）求导数可得f/(x)=1-

b

(x+1)2

=

(x+1)2-b

(x+1)2

，可得f′（x）＞0，函数单调递增，进而可得答案．

解答：解：（1）把b=2代入f(x)=x+

b

x+1

中，
可得f(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1，
∵x∈[0，+∞），∴x+1＞0，

2

x+1

＞0．
由基本不等式可得f(x)≥2

2

-1，
当且仅当x+1=

2

x+1

，即x=

2

-1时，函数f（x）取得最小值，最小值为2

2

-1．…（6分）
（2）求导数可得f/(x)=1-

b

(x+1)2

=

(x+1)2-b

(x+1)2

，
由x≥0，可得（x+1）²≥1，
又0＜b＜1，可得f′（x）＞0
∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，
f_min（x）=f（0）=b…（13分）．

点评：本题考查函数的单调性和最值，涉及基本不不等式的应用，属中档题．