Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（2）设函数h(x)=

1

3

f′(x)+(2a+

1

3

)x-

8

3

a+1(x∈(-1，b](b＞-1))，如果存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，试求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意知，f'（x）=3ax²+2x-a在区间（1，2）内有不重复的零点，由3ax²+2x-a=0，分离参数，构造新函数，确定其值域，即可求得结论；
（2）存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等价于h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，进而分类讨论，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意知，f'（x）=3ax²+2x-a在区间（1，2）内有不重复的零点…（1分）
由3ax²+2x-a=0，得a（3x²-1）=-2x…（2分）
∵3x²-1≠0，∴a=-

2x

3x2-1

…（3分）
令y=-

2x

3x2-1

，y′=

6x2+2

(3x2-1)2

＞0…（4分）
故y=-

2x

3x2-1

在区间（1，2）上是增函数，其值域为(-1，-

4

11

)，
∴a的取值范围是(-1，-

4

11

)…（6分）
（2）∵h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
由已知得：h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0…①…（7分）
当x=-1时，不等式①成立…（8分）
当-1＜x≤b时，不等式①化为：ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0…②…（9分）
令φ（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由于二次函数φ（x）的图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又φ（-1）=-4a＞0…（10分）
∴不等式②恒成立的充要条件是φ（b）≥0，即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

，
∵这个关于a的不等式在区间（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤(-

1

a

)max，即

b2+2b-3

b+1

≤1，∴b²+b-4≤0…（11分）
∴

-1- 17

2

≤b≤

-1+ 17

2

，又b＞-1，故-1＜b≤

-1+ 17

2

…（12分）
从而bmax=

-1+ 17

2

，此时唯有a=-1符合条件…（14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，属于中档题．