Question

在△ABC中，内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

．
（Ⅰ）求角B的大小；  
（Ⅱ）b=

13

，a+c=4，且a＞c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinA不为0，求出cosB的值，由B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式化简，将b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，
即2sinAcosB=-sin（B+C）=-sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=-

1

2

，
∵B为三角形内角，∴B=120°；
（Ⅱ）∵b=

13

，cosB=-

1

2

，a+c=4，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即13=a²+c²+ac=（a+c）²-ac=16-ac，
∴ac=3，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．