Question

在数列{a_n},{b_n}中,a₁=2,b₁=4,且a_n,b_n,a_n+1成等差数列,b_n,a_n+1,b_n+1成等比数列(n∈N^*).

(1)求a₂,a₃,a₄及b₂,b₃,b₄,由此猜测{a_n},{b_n}的通项公式,并证明你的结论;

(2)证明++…+＜.

Answer 1

本题主要考查等差数列、等比数列、数学归纳法、不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.

解:(1)由条件得2b_n=a_n+a_n+1,a_n+1²=b_nb_n+1.

由此可得a₂=6,b₂=9,a₃=12,b₃=16,a₄=20,b₄=25.                                     

猜测a_n=n(n+1),b_n=(n+1)².                                                       

用数学归纳法证明:

①当n=1时,由上可得结论成立.

②假设当n=k时,结论成立,即a_k=k(k+1),b_k=(k+1)²,

那么当n=k+1时,a_k+1=2b_k-a_k=2(k+1)²-k(k+1)=(k+1)(k+2),

b_k+1==(k+2)².

所以当n=k+1时,结论也成立.

由①②,可知a_n=n(n+1),b_n=(n+1)²对一切正整数都成立.                           

(2).

n≥2时,由(1)知a_n+b_n=(n+1)(2n+1)＞2(n+1)n.                                       

故++…+＜+［++…+］

=+(-+-+…+)

=+()＜+=.