Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x²e^x，f'（x）=（x²+2x）e^x，故f'（1）=3e，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，
所以该切线方程为y-e=3e（x-1），
整理得：3ex-y-2e=0．
（Ⅱ）解：f'（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x
令f'（x）=0，解得x=-2a，或x=a-2．由知，-2a≠a-2．
以下分两种情况讨论．
①若a＞，则-2a＜a-2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数，在（-2a，a-2）内是减函数．
函数f（x）在x=-2a处取得极大值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．
函数f（x）在x=a-2处取得极小值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2．
②若a＜，则-2a＞a-2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）内是增函数，在（a-2，-2a）内是减函数
函数f（x）在x=a-2处取得极大值f（a-2），且f（a-2）=（4-3a）e^a-2，
函数f（x）在x=-2a处取得极小值f（-2a），且f（-2a）=3ae^-2a．
分析：（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=-2a和x=a-2，分两种情况讨论：①当-2a＜a-2时和②当-2a＞a-2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．
点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．