Question

设A、B分别是直线y=x和y=-x上的两个动点，并且| |=，动点P满足=+，记动点P的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程；

(2)若点D的坐标为(0,16)，M、N是曲线C上的两个动点，且DM=λDN(λ≠1),求实数λ的取值范围.

Answer 1

解：(1)设P(x,y)，∵A、B分别为直线y=x和y=-x上的点，故可设A(x₁,x₁)、B(x₂,-x₂).∵=+,∴∴

?

又||=,∴(x₁-x₂)²+(x₁+x₂)²=20.                                                          ?

∴y²+x²=20,即曲线C的方程为                                                     ?

(2)设N(s,T)、M(x,y)，则由，可得(x,y-16)=λ(s,T-16).?

故x=λs,y=16+λ(T-16).                                                                                       ?

∵M、N在曲线C上，∴                                                 ?

消去s得.?

由题意知λ≠0且λ≠1,解得T=.                                                            ?

又|T|≤4,∴||≤4.解之，得≤λ≤ (λ≠1).?

故实数λ的取值范围是≤λ≤(λ≠1).