Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁，∠BAC=90°，D为棱BB₁的中点.

(1)求异面直线C₁D与A₁C所成的角;

(2)求证:平面A₁DC⊥平面ADC.

Answer 1

解法一：（1）解析：建立如图所示的平面直角坐标系.

设AB=a,

则A₁（0，0，2a），C（0，a，0），?C₁（0，a，2a），D（a，0，a），

于是=（a,-a,-a）,=(0,a,-2a).

∵cos〈，〉=，

∴异面直线C₁D与A₁C所成的角为arccos.

（2）证明：∵=（a,0,-a）,=(a,0,a),=(0,a,0),

∴·=a²+0-a²=0, ·=0.

则⊥，⊥.

∴A₁D⊥平面ADC.又A₁D平面A₁DC，

∴平面A₁DC⊥平面ADC.

解法二：（1）解析：连结AC₁交A₁C于点E，取AD中点F，连结EF，则EF∥C₁D.

∴直线EF与A₁C所成的角就是异面直线C₁D与A₁C所成的角.

设AB=a，则C₁D=a，

A₁C=a，

AD=a.

△CEF中,CE=A₁C=a,EF=C₁D=a.

直三棱柱中，∠BAC=90°，则AD⊥AC.

CF=a.

∵cosCEF=.

∴异面直线C₁D与A₁C所成的角为arccos.

（2）证明：直三棱柱中，∠BAC=90°，

∴AC⊥平面ABB₁A₁，则AC⊥A₁D.

又AD=a,A₁D=a,AA₁=2a,

则AD²+A₁D²=AA₁²，于是AD⊥A₁D.

∴A₁D⊥平面ADC.又A₁D平面A₁DC，∴平面A₁DC⊥平面ADC.