Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，（n∈N^*），
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，求证：nT_n≤2n-1．
（3）若数列{b_n}满足：b_n=na_n，请写出{b_n}的前n项和U_n的公式（只要结果，不须推导），并据此求出U₁₉的值．

Answer 1

分析：（1）根据S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，先求出a₁，再根据a_n+1=a_n+2n+1，利用迭加法，求出当n≥2时的通项公式，验证n=1是否适合，从而得到数列{a_n}的通项公式；
（2）先证明当n=1时，不等式nT_n≤2n-1成立，再根据n≥2时，利用放缩法，即可证明不等式nT_n≤2n-1成立，从而证得结论；
（3）根据题意，写出{b_n}的前n项和U_n，将n=19代入，即可求得U₁₉的值．

解答：解：（1）∵S₂=5，a_n+1=a_n+2n+1，
∴

a2=a1+3 a1+a2=5

，解得a₁=1，
∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴当n≥2时，a₂-a₁=3，a₃-a₂=5，…，a_n-a_n-1=2n-1，
迭加可得，an-a1=n2-1，
∵a₁=1，
∴an=n2，
∵a1=1=12，
∴a₁也满足上式，
∴an=n2（n∈N*）；
（2）∵Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，
①当n=1时，T1=

1

a1

=1，
∴1T₁≤2×1-1，
∴：nT_n≤2n-1；
②当n≥2时，Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜

1

1

+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

，
∴T_n＜2-

1

n

，
∴nT_n＜2n-1．
综合①②可得，nT_n≤2n-1．
（3）∵bn=na n=n3，
∴Un=13+23+…+n3=[

n(n+1)

2

]2，
∴U19=[

19×20

2

]2=36100．

点评：本题考查了数列的递推公式，数列的通项公式．求数列通项公式常见的方法有：利用等差等比数列的通项公式，利用S_n与a_n的关系，迭加法，迭乘法，构造新数列．根据具体的条件判断该选用什么方法求解．同时考查了证明不等式，运用了放缩法证明不等式，关键是该如何进行放缩才能得到所要证明的不等式．属于难题．