Question

22.设正整数数列{a_n}满足：a₂＝4，且对于任何n∈N^*，有.

（1）求a₁，a₃；

（2）求数列{ a_n }的通项a_n .

Answer 1

解：（1）据条件得①

当n=1时，由，即有，

解得，因为a₁为正整数，故a₁=1.

当n=2时，由，解得8＜a₃＜10,所以a₃=9.

(2)方法一：由a₁=1,a₂=4,a₃=9,猜想：a_n=n²

下面用数学归纳证明.

当n=1,2时，由（1）知a_n=n²均成立;

假设成立，即a_k=k²,则n=k+1时

由①得

因为时，(k³+1)-(k+1)²=k(k+1)(k-2)0.所以。

k-11,所以

又，所以

故a_k+1=(k+1)²,即n=k+1时，a_n=n²成立。

由,知，对任意,a_n=n².

(2)方法二：

由a₁=1,a₂=4,a₃=9, 猜想：a_n=n²

下面用数学归纳法证明.

当n=1,2时，由（1）知a_n=n²均成立;

假设成立，即a_k=k²,则n=k+1时

由①得

即②

由②左式，得，即（k-1）a_k+1＜k³+k²-k,因为两端为整数，

则（k-1）a_k+1k³+k²-k-1=(k+1)²(k-1).于是a_k+1(k+1)² ③

又由②右式，，

则（k²-k+1）a_k+1＞k³(k+1).

因为两端为正整数，则(k²-k+1)a_k+1k⁴+k³+1,

所以。

又因，a_k+1为正整数，则④

据③④a_k+1=(k+1)²,即n=k+1时，a_n=n²成立.

由、知，对任意，.