练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    A、B是抛物线y2=2px(p＞0)上的两点，满足OA⊥OB(O为坐标原点).求证：

    (1)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别为定值；

    (2)直线AB经过一个定点.

    证明:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),则y12=2px1、y22=2px2.

    ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,y12y22=4p2x1x2=4p2·(-y1y2).

    ∴y1y2=-4p2,从而x1x2=4p2也为定值.

    (2)∵y12-y22=2p(x1-x2),∴

    ∴直线AB的方程为,

    即,.

    亦即.∴直线AB经过定点(2p,0)

    启示:本例的证明还可以设OA的方程为y=kx,OB的方程为.由OA的方程与抛物线的方程联立求得A点的坐标，再由OB的方程与抛物线的方程联立求得B点的坐标,利用A、B的坐标证明.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“
    OA
    •
    OB
    =0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的（　　）
    A、充分非必要条件
    B、充要条件
    C、必要非充分条件
    D、非充分非必要条件

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB．
    （1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
    （2）求弦AB中点P的轨迹方程；
    （3）求△AOB面积的最小值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    [理]已知A、B是抛物线y2=4x上两点，且
    OA
    •
    OB
    =0，则原点O到直线AB的最大距离为（　　）
    A、2B、3C、4D、8

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A、B是抛物线y2=x上的两点，O为原点，且OA⊥OB，则直线AB必过定点
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•青浦区二模）（文）已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点．
    （1）设过点A且斜率为-1的直线l1，与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P（4，4），求直线AB的斜率；
    （2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
    （3）若线段AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点Q（x0，0）．若x0＞2，试用x0表示线段AB中点的横坐标．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案