Question

已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线y²=4x上相异两点，且满足x₁+x₂=2．
（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线A的方程；
（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

Answer 1

方法一：
（I）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
所以设直线AB的方程为y=kx+b，代入方程y²=4x得：k²x²+（2kb-4）x+b²=0
∴x₁+x₂=

4-2kb

k2

=2，…（2分）
得：b=

2

k

-k，
∴直线AB的方程为y=k（x-1）+

2

k

，
∵AB中点的横坐标为1，
∴AB中点的坐标为（1，

2

k

）    …（4分）
∴AB的中垂线方程为y=-

1

k

（x-1）+

2

k

=-

1

k

x+

3

k

，
∵AB的中垂线经过点P（0，2），故

3

k

=2，得k=

3

2

      …（6分）
∴直线AB的方程为y=

3

2

x-

1

6

，…（7分）
（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂线方程为y=-

1

k

x+

3

k

，
∴M点的坐标为（3，0）…（8分）
因为直线AB的方程为k²x-ky+2-k²=0，
∴M到直线AB的距离d=

|3k2+2-k2|

k4+k2

=

2 k2+1

|k|

      …（10分）
由

k2x-ky+2-k2=0 y2=4x

得

k2

4

y²-ky+2-k²=0，
y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=

8-2k2

k2

，
|AB|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=

4 1+k2 k2-1

k2

            …（12分）
∴S_△AMB=4（1+

1

k2

）

1- 1 k2

，设

1- 1 k2

=t，则0＜t＜1，
S=4t（2-t²）=-4t³+8t，S′=-12t²+8，由S′=0，得t=

6

3

，
即k=±

3

时S_max=

16 6

9

，
此时直线AB的方程为3x±

3

y-1=0．…（15分）
（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）
法二：
（1）根据题意设AB的中点为Q（1，t），则k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

2

t

      …（2分）
由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t-2，…（4分）
由（t-2）•

2

t

=-1，得t=

4

3

，…（6分）
∴直线AB的方程为y=

3

2

x-

1

6

，…（7分）
（2）由（1）知直线AB的方程为y-t=

2

t

（x-1），…（8分）
AB中垂线方程为y-t=-

t

2

（x-1），中垂线交x轴于点M（3，0），
点M到直线AB的距离为d=

t2+4

t2+4

=

t2+4

，…（10分）
由

y-t= 2 t (x-1) y2=4x

得：4x²-8x+（t²-2）²=0，
∴|AB|=

1+ 4 t2

|x₁-x₂|=

(t2+4)(4-t2)

，x₁+x₂=2，x₁x₂=

(t2-2)2

4

∴S=

1

2

|AB|•d=

1

2

(t2+4)2(4-t2)

=

2

4

(t2+4)2(8-2t2)

≤

2

4

( 16 3 )3

=

16 6

9

，
当t²=

4

3

时，S有最大值

16 6

9

，此时直线AB方程为3x±

3

y-1=0…（15分）