Question

设a＞0且a≠1,0＜x＜1，试比较|log_a(1-x)|和|log_a(1+x)|的大小.

Answer 1

思路分析：由于所要比较的两个数带有绝对值号，结合对数函数的知识，可知对a应分为a＞1和0＜a＜1两种情况讨论.

解：（1）当a＞1时，

∵0＜x＜1,

∴-1＜-x＜0,0＜1-x＜1,1+x＞1.

∴log_a(1-x)＜0,log_a(1+x)＞0.

∴|log_a(1-x)|-|log_a(1+x)|

=-log_α(1-x)-log_a(1+x)

=-［log_a(1-x)+log_a(1+x)］

=-log_a(1-x)(1+x)

=-log_a(1-x²).

∵0＜x＜1,

∴0＜x²＜1,-1＜-x²＜0,0＜1-x²＜1,

即log_a(1-x²)＜0,-log_a(1-x²)＞0.

∴|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.

（2）当0＜a＜1时，log_a(1-x)＞0,log_a(1+x)＜0,

∴|log_a(1-x)|-|log_a(1+x)|=log_a(1-x)+log_a(1+x)

=log_a(1-x²)＞0.

∴|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.

综合①②,可知|log_a(1-x)|＞|log_a(1+x)|.