Question

如图，已知AM、BN、CP、DQ分别是四面体ABCD的高，且AM、BN相交．求证：CP、DQ相交．

Answer 1

答案：略
解析：

设AM与BN确定的平面为a．∵AA⊥平面BCD，∴AM⊥CD．同理BN⊥CD，∴CD⊥平面a又AB平面a，∵AB⊥CD．∵CP⊥平面ABD，∴CP⊥AB．∴AB⊥平面CDP(如图)．又AB平面ABC，∴平面ABC⊥平面CDP．∵DQ⊥平面ABC，根据结论：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．∴DQ平面CDP．∵CP、DQ在一个平面内且不平行，∴CP与DQ必相交．判定直线在平面内，课本(包括例题、习题)中出现的结论有：①若一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上所有点都在这个平面内；②过一点与已知直线垂直的直线，都在过这点与已知直线垂直的平面内；③过平面外一点与已知平面平行的直线，都在过这点与已知平面平行的平面内；④一直线平行于一平面，则过平面内一点与已知直线平行的直线都在该平面内；⑤两平面垂直，过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．要证CP、DQ相交，只需证CP、DQ在同一个平面内，这个平面应该CD与CP所确定的平面．因此，只需证明DQ在平面CDP中，因为DQ⊥面ABC，因此只需证平面CDP⊥面ABC．