Question

在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？

Answer 1

解法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km，则

∵BD=40，AC=50-x,

∴BC=.

又设总的水管费用为y元，依题意有：

y=3a(50-x)+5a(0＜x＜50)，

y′=-3a+,令y′=0,解得x=30.

在（0，50）上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，

函数在x=30 km处取得最小值，此时AC=50-x=20km.

∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.

解法二：设∠BCD=θ,则BC=,CD=40cotθ(0＜θ＜),∴AC=50-40cotθ.

设总的水管费用为f(θ),依题意，有

f(θ)=3a(50-40·cotθ)+5a·=150a+40a·,

∴f′(θ)=40a·=40a·.

令f′(θ)=0,得cosθ=.

根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=.

∴AC=50-40cotθ=20 (km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.