Question

（2013•揭阳一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足

a

sinA

=

c

3 cosC

．
（1）求角C的大小；
（2）求

3

sinA-cosB的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用正弦定理变形，再利用同角三角函数间的基本关系求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，代入所求式子中利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出最大值以及此时A与B的度数．

解答：解：（1）由条件结合正弦定理得，

a

sinA

=

c

3 cosC

=

c

sinC

，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
∵0＜C＜π，∴C=

π

3

；
（2）由（1）知B=

2π

3

-A，
∴

3

sinA-cosB=

3

sinA-cos（

2π

3

-A）=

3

sinA-cos

2π

3

cosA-sin

2π

3

sinA=

3

2

sinA+

1

2

cosA=sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
当A+

π

6

=

π

2

时，

3

sinA-sin（B+

π

2

）取得最大值1，此时A=

π

3

，B=

π

3

．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．