Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，且有f（x+1）-f（x）=2x．在区间[-1，2]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象下方，则实数m的取值范围为

m＞5

．

Answer 1

分析：设f（x）=ax²+bx+c，根据条件求出系数a、b和c的值，再由题意转化为x²-x+1＜2x+m在[-1，2]恒成立，再分离出m，进一步转化求y=x²-3x+1在[-1，2]上的最大．

解答：解：设二次函数f（x）=ax²+bx+c （a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，即f（x）=ax²+bx+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x，
即2ax+a+b=2x，∴

2a=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

，
∴f（x）=x²-x+1，
∵在区间[-1，2]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象下方，
∴x²-x+1＜2x+m，即m＞x²-3x+1，x∈[-1，2]，
∵y=x²-3x+1的对称轴x=

3

2

，
∴当x=-1时，此函数有最大值为5，
∴m＞5．
故答案为：m＞5．

点评：本题考查了求函数解析式方法：待定系数法，以及恒成立问题，考查了转化思想和分析、解决问题的能力．