Question

已知在平面四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起到△PBD的位置(如图所示)，使平面PBD⊥平面BCD.

(1)求证：CD⊥PB；

(2)求二面角PBCD的平面角的正切值.

Answer 1

(1)证明：因为∠BAD=90°，AD=AB，所以∠ADB=∠ABD=45°，∠BDC=90°，即BD⊥DC.

又平面PBD⊥平面BCD，CD平面BCD，所以CD⊥平面PBD.

又PB平面PBD，所以CD⊥PB.

(2)解：过点P作PE⊥BD于E.因为平面PBD⊥平面BCD，所以PE⊥平面BCD.过E作EF⊥BC于F，连结PF，则PE⊥PF，BC⊥平面PEF，所以BC⊥PF，∠PFE为二面角PBCD的平面角.

又PB=PD=1，所以PE=BE=，EF=BE=.

在Rt△PEF中，∠PEF=90°,tan∠PFE=，故二面角PBCD的平面角的正切值是.