Question

已知函数f(x)=cos(x-

π

4

)．
（1）求函数f（x）在区间[-

π

12

，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）若f(α)=

3

5

，其中

π

4

＜α＜

3π

4

，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）由余弦函数的图象与性质，结合题意可得当x=-

π

12

时，函数取得最小值

1

2

，当x=

π

4

时，函数取得最大值1；
（2）由函数的表达式，结合题意算出sin(α-

π

4

)=

4

5

．再进行配角α=(α-

π

4

)+

π

4

，利用两角和的正弦公式即可算出sinα的值．

解答：解：（1）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]…（1分）∴x-

π

4

∈[-

π

3

，

π

4

]…（2分）
∴当x-

π

4

=-

π

3

时，即x=-

π

12

时，函数取得最小值

1

2

；…（4分）
当x-

π

4

=0时，即x=

π

4

时，函数取得最大值1．…（6分）
（2）∵f(α)=cos(α-

π

4

)=

3

5

，且0＜α-

π

4

＜

π

2

，…（7分）
∴sin(α-

π

4

)=

4

5

．…（8分）
可得：

sinα=sin[(α- π 4 )+ π 4 ] =sin(α- π 4 )cos π 4 +cos(α- π 4 )sin π 4 = 7 10 2

即sinα的值为

7 2

10

点评：本题求三角函数在指定区间上的最大最小值，并求特殊三角函数的值．着重考查了任意角的三角函数、余弦函数的图象与性质、两角和的正弦公式等知识，属于中档题．