Question

已知函数f(x)=4sinx(sinx-

3

cosx)-5
（1）求函数f（x）的最小正周期以及最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的增区间．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的恒等变换化简函数的解析式为-4sin（2x+

π

6

）-3，由此求得最小正周期，以及函数的最值．
（2）本题即求函数t=4sin（2x+

π

6

）的减区间，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范围，
即可求得函数f（x）的增区间．

解答：解：（1）函数f(x)=4sinx(sinx-

3

cosx)-5=4sin²x-4

3

sinxcosx-5=
-4（

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x）-5=-4sin（2x+

π

6

）-3，
故函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，最大值为4-3=1，最小值为-4-3=-7．
（2）本题即求函数t=4sin（2x+

π

6

）的减区间，令 2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，
解得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
故函数f（x）的增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，复合三角函数的单调性，属于中档题．