Question

如图，已知直三棱柱中，是等腰直角三角形，，、、分别是、、的中点．现设．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的正切值．

Answer 1

解法1：（1）取AB的中点H，连结DH

 

四边形CHDE为平行四边形．

（2）在等腰

又∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面CBB₁C₁，

且平面ABC∩平面CBB₁C₁=CB，

∴AF⊥平面CBB₁C₁，

又平面．

由题设，CE=a，则，

．

，

又平面AEF．

（3）在平面B₁EA内，作，垂足为K，连结KF．

则为二面角B₁―AE―F的平面角．

∵在Rt△AFE中，，

，

∴在Rt△B₁FK中，．

即二面角B₁―AE―F的平面角的正切值为．

解法2：如图建立空间直角坐标系，则

，

．

（1）       取的中点H，连结CH．

，

，

平面ABC，

而平面，

平面ABC．

（2），

∴B₁F⊥EF，B₁F⊥AF.

∵EF∩AF=F.

∴B₁F⊥平面AEF.

（3）设平面AB₁E的一个法向量为

，

，

令，则．

由于平面AEF的一个法向量为，

故设与m所成角为θ．

．

由于平面AB₁E与平面AEF所成的二面角为锐二面角．

∴二面角B₁―AE―F的平面角的余弦值为．

∴二面角B₁―AE―F的正切值为．