Question

已知

a

=（

3

，cosx），

b

=（cos²x，sinx），函数f（x）=

a

•

b

-

3

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

4

]，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅲ）函数f（x）的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？

Answer 1

（1）函数f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3

(

1+cos2x

2

)+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
∴由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z得-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
所以f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]k∈Z（5分）
(2)∵x∈[0，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴当2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

时f(x)max=1
当2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

时f(x)min=

1

2

∴

1

2

≤f(x)≤1(2)∵x∈[0，

π

4

]∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]
∴当2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

时f(x)max=1
当2x+

π

3

=

5π

6

即x=

π

4

时f(x)min=

1

2

∴

1

2

≤f(x)≤1
（3）当f（x）的图象上所有的点向右平移

π

6

个单位长度得到y=sin2x的图象，则其对应的函数即为奇函数．（12分）