Question

（2013•莱芜二模）如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，上顶点A，离心率为

1

2

，点P为第一象限内椭圆上的一点，若S△PF1A：S△PF1F2=2：1则直线PF₁的斜率为

3

5

．

Answer 1

分析：设出直线方程，利用S△PF1A：S△PF1F2=2：1，可得A到直线PF₁的距离是F₂到直线PF₁的2倍，利用椭圆的离心率，即可求得直线PF₁的斜率．

解答：解：设直线PF₁的斜率为k，则直线PF₁的直线方程为y=k（x+c），即kx-y+kc=0
∵S△PF1A：S△PF1F2=2：1
∴A到直线PF₁的距离是F₂到直线PF₁的2倍
∴

|-b+kc|

k2+1

=2×

|2kc|

k2+1

∴|-b+kc|=4|kc|
∵离心率为

1

2

，
∴

c2

a2

=

1

4

∴b=

3

c
∴|k-

3

|=4|k|
∴k=-

3

3

或k=

3

5

∵点P为第一象限内椭圆上的一点，
∴k=

3

5

故答案为

3

5

点评：本题考查椭圆的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．