Question

探究函数的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	16	10	8.34	8.1	8.01	8	8.01	8.04	8.08	8.6	10	11.6	15.14	…

请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
（1）函数在区间（0，2）上递减；函数在区间______上递增．当x=______时，y_最小=______．
（2）证明：函数在区间（0，2）递减．
（3）思考：函数时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

Answer 1

解：（1）∵x＞0，∴=8
当且仅当x=2时，函数的最小值为8
由此可得函数在区间（0，2）上递减；在区间（2，+∞）上递增
故答案为：（2，+∞），2，4．…
（2）证明：设x₁，x₂是区间（0，2）上的任意两个数，且x₁＜x₂，可得

=
=
∵x₁＜x₂且x₁，x₂∈（0，2），可得x₁-x₂＜0，x₁x₂-4＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
由此可得函数在（0，2）上为减函数．
（3）根据函数在{x|x≠0}上为奇函数，且在（0，+∞）上有最小值4，可得如下结论：
函数，当x＜0时，有最大值
当x=-2时，y_max=-4．
分析：（1）利用基本不等式，可得当且仅当x=2时，函数的最小值为8．由此可得函数在（0，+∞）上的单调增区间，得到答案；
（2）设x₁、x₂∈（0，2）且x₁＜x₂，利用作差、因式分解、判断符号的方法加以证明可得f（x₁）＞f（x₂），结合函数单调性的定义，可得函数在（0，2）上为减函数；
（3）根据函数在（0，+∞）上的单调性与最值，结合函数在{x|x≠0}上为奇函数，即可得到当x＜0时函数有最大值为-4．
点评：本题给出双曲型函数，求函数的单调区间与最值．着重考查了基本不等式求最值、用定义证明函数的单调性等知识，属于中档题．