Question

已知F₁、F₂是双曲线-=1(b∈N^*)的两个焦点,双曲线上一点P满足|PF₁|·|PF₂|=|F₁F₂|²,且|PF₂|<4,求双曲线方程.

Answer 1

双曲线方程为-y²=1.

解析:

设|PF₁|=r₁,|PF₂|=r₂,

由双曲线定义得|r₁-r₂|=4.

又r₂<4,

∴r₁>r₂.

∴r₁-r₂=4.                                                                    ①

由已知r₁r₂=(2c)²=4(4+b²).                                                     ②

联立①②得r₂(r₂+4)=4(4+b²).

又0<r₂<4,

∴0<r₂(r₂+4)<4(r₂+4).

∴4+b²<r₂+4.

∴b²<r₂.

结合r₂<4,b∈N^*,得b=1.

故所求双曲线方程为-y²=1.