Question

已知点 M（-2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |-|PN|=，记动点P的轨迹为W.

（1）求 W的方程；

（2）若 A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值.

Answer 1

思路分析：由双曲线的第二定义可知P点的轨迹为双曲线，求出双曲线方程，再结合向量的数量积公式求解.

解：（1）由|PM|-|PN|=,知动点 P的轨迹是以 M,N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.

又半焦距 c=2，故虚半轴长b=.

所以 W的方程为=1,.

（2）设 A，B的坐标分别为（x₁,y₁）,（x₂,y₂）

当 AB⊥x轴时,x₁=x₂,从而y₁=-y₂,从而=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得（1-k²）x²-2kmx-m²-2=0.

故x₁+x₂=,x₁x₂=.

所以=x₁x₂+y₁y₂

=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）

=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²

=+m²

=.

又因为x₁x₂＞0,所以k²-1＞0,从而＞2.

综上,当AB⊥x轴时,取得最小值2.