Question

已知α、β是锐角，α+β≠,且满足3sinβ=sin(2α+β).

(1)求证：tan（α+β）=2tanα;

(2)求证：tanβ≤,并求等号成立时tanα和tanβ的值.

Answer 1

证明：(1)∵3sinβ=sin(2α+β),

∴3sin［(α+β)-α］=sin［(α+β)+α］，

即sin(α+β)cosα=2cos(α+β)·sinα

∴tan(α+β)=2tanα.

(2)tanβ=tan［(α+β)-α］

=.

当且仅当1=2tan²α,即tanα=时等号成立.